Matemática discreta Ejemplos

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.353 \\ 1 & 0.237 \\ 2 & 0.203 \\ 3 & 0.113 \\ 4 & 0.094 \\ 5 & 0 \\ 6 & 0 \end{array}$

Paso 1

Demuestra que la tabla determinada cumple con las dos propiedades necesarias para una distribución de probabilidad.

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Paso 1.1

Una variable aleatoria discreta $x$ toma un conjunto de valores separados (como $0$ , $1$ , $2$ ...). Su distribución de probabilidad asigna una probabilidad $P (x)$ a cada valor posible $x$ . Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ cae entre $0$ y $1$ inclusive y la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es igual a $1$ .

1. Para cada $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Paso 1.2

$0.353$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.353$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.3

$0.237$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.237$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.4

$0.203$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.203$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.5

$0.113$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.113$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.6

$0.094$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0.094$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.7

$0$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0$ está entre $0$ y $1$ inclusive

Paso 1.8

Para cada $x$ , la probabilidad $P (x)$ está entre $0$ y $1$ inclusive, que cumple con la primera propiedad de la distribución de probabilidad.

$0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de x

Paso 1.9

Obtén la suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ .

$0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Paso 1.10

La suma de las probabilidades para todos los posibles valores de $x$ es $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$ .

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Paso 1.10.1

Suma $0.353$ y $0.237$ .

$0.59 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Paso 1.10.2

Suma $0.59$ y $0.203$ .

$0.793 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Paso 1.10.3

Suma $0.793$ y $0.113$ .

$0.906 + 0.094 + 0 + 0$

Paso 1.10.4

Suma $0.906$ y $0.094$ .

$1 + 0 + 0$

Paso 1.10.5

Suma $1$ y $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.10.6

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.11

Para cada $x$ , la probabilidad de $P (x)$ se encuentra entre $0$ y $1$ inclusive. Además, la suma de las probabilidades para todos los posibles $x$ es igual a $1$ , lo que significa que la tabla satisface las dos propiedades de una distribución de probabilidad.

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$

La tabla cumple con las dos propiedades de una distribución de probabilidad:

Propiedad 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ para todos los valores de $x$

Propiedad 2: $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$

Paso 2

La expectativa media de una distribución es el valor esperado si los ensayos de la distribución podrían continuar indefinidamente. Esto es igual a cada valor multiplicado por su probabilidad discreta.

$0 \cdot 0.353 + 1 \cdot 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica $0$ por $0.353$ .

$0 + 1 \cdot 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Paso 3.2

Multiplica $0.237$ por $1$ .

$0 + 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $0.203$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $0.113$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Paso 3.5

Multiplica $4$ por $0.094$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Paso 3.6

Multiplica $5$ por $0$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 6 \cdot 0$

Paso 3.7

Multiplica $6$ por $0$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Paso 4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1

Suma $0$ y $0.237$ .

$0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Paso 4.2

Suma $0.237$ y $0.406$ .

$0.643 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Paso 4.3

Suma $0.643$ y $0.339$ .

$0.982 + 0.376 + 0 + 0$

Paso 4.4

Suma $0.982$ y $0.376$ .

$1.358 + 0 + 0$

Paso 4.5

Suma $1.358$ y $0$ .

$1.358 + 0$

Paso 4.6

Suma $1.358$ y $0$ .

$1.358$

Paso 5

La desviación estándar de una distribución es una medida de la dispersión y es igual a la raíz cuadrada de la varianza.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Paso 6

Completa con los valores conocidos.

$\sqrt{{(0 - (1.358))}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $1.358$ .

$\sqrt{{(0 - 1.358)}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.2

Resta $1.358$ de $0$ .

$\sqrt{{(- 1.358)}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.3

Eleva $- 1.358$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1.844164 \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.4

Multiplica $1.844164$ por $0.353$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(1 - 1.358)}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.6

Resta $1.358$ de $1$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(- 0.358)}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.7

Eleva $- 0.358$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.128164 \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.8

Multiplica $0.128164$ por $0.237$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.9

Multiplica $- 1$ por $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {(2 - 1.358)}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.10

Resta $1.358$ de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {0.642}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.11

Eleva $0.642$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.412164 \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.12

Multiplica $0.412164$ por $0.203$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.13

Multiplica $- 1$ por $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {(3 - 1.358)}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.14

Resta $1.358$ de $3$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {1.642}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.15

Eleva $1.642$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 2.696164 \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.16

Multiplica $2.696164$ por $0.113$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.17

Multiplica $- 1$ por $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {(4 - 1.358)}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.18

Resta $1.358$ de $4$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {2.642}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.19

Eleva $2.642$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 6.980164 \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.20

Multiplica $6.980164$ por $0.094$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.21

Multiplica $- 1$ por $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {(5 - 1.358)}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.22

Resta $1.358$ de $5$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {3.642}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.23

Eleva $3.642$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 13.264164 \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.24

Multiplica $13.264164$ por $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.25

Multiplica $- 1$ por $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {(6 - 1.358)}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.26

Resta $1.358$ de $6$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {4.642}^{2} \cdot 0}$

Paso 7.27

Eleva $4.642$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + 21.548164 \cdot 0}$

Paso 7.28

Multiplica $21.548164$ por $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + 0}$

Paso 7.29

Simplifica mediante la adición de ceros.

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Paso 7.29.1

Suma $0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0$ y $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0}$

Paso 7.29.2

Suma $0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541$ y $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Paso 7.30

Suma $0.650\overline{98}$ y $0.03037486$ .

$\sqrt{0.68136476 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Paso 7.31

Suma $0.68136476$ y $0.08366929$ .

$\sqrt{0.76503405 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Paso 7.32

Suma $0.76503405$ y $0.30466653$ .

$\sqrt{1.06970058 + 0.65613541}$

Paso 7.33

Suma $1.06970058$ y $0.65613541$ .

$\sqrt{1.725836}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{1.725836}$

Forma decimal:

$1.31371077 \dots$